Le Français Wendelin Werner, 38 ans, d'origine allemande, professeur à l'Université de Paris sud-Orsay, a reçu la Médaille Field hier (récompense suprême pour les mathématiciens, l’équivalent d’un prix Nobel).

Il été récompensé pour ses «contributions au développement de l'évolution statistique de Loewner, la géométrie du mouvement brownien à deux dimensions et la théorie conforme des champs».
Je ne saurais pas vous expliquer à quoi cela correspond, mais je suis bien contente pour lui !
Il a le triomphe modeste, j’ai entendu en interview ce matin il disait qu’il était plus heureux lorsqu’il arrivait à terminer une démonstration que du fait d’avoir reçu cette récompense...

Deux autres personnes ont été primées cette année :

Un Australien Terence Tao, 31 ans, enseignant à l'Université de Californie à Los Angeles, est primé pour ses «contributions aux équations en dérivées partielles (...), à l'analyse harmonique et à la théorie des nombres additifs».

Et un Russe Andreï Okounkov, 37 ans, de l'Université de Princeton, les travaux primés concernent «l'interaction entre la théorie des probabilités, la théorie de la représentation et la géométrie algébrique».

Une quatrième personne aurait dû être primée : Grigori Perelman, mais il aurait refusé la médaille... Personnellement je trouve cela stupide de refuser une valorisation de son travail, une reconnaissance de tous ses pairs concernant des années de recherche, mais il a sûrement ses raisons...

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679...

Dans la série les nombres remarquables qui ont donné des ampoules aux doigts et fait chauffer des cerveaux : Pi !
Bon la différence avec le nombre d'or c'est que Pi a une réelle utilité il est même indispensable à quiconque faisant un peu de mathématiques...

Dés l'antiquité, les mathématiciens se sont rendu compte que le diamètre d'un cercle etait proportionnel à sa circonférence d'une constante, toujours la meme. Ils l'ont nommé Pi (p).
Cette définition de Pi est toujours valable de nos jours, à condition de se placer en géométrie euclidienne...
Si P est le périmètre du cercle et R son rayon, je pense que vous savez tous que P=2PiR d'où Pi = P/(2R)

Les babyloniens en 2000 avant JC utilisaient 25/8 (3.125)

Archimède (environ -300) est le premier à se lancer dans la course au calcul des décimales de ce nombre :
il utilise des approximations :
- on peut facilement calculer la surface d'un polygone. (en le rammenant a un assemblage de rectangles et triangles par exemple)
- on sait que la surface d'un disque vaut Pi multiplié par le rayon au carré.
- si on prend un polygone un peu plus grand que le cercle, et un polygone un peu plus petit, on peut encadrer Pi.
Archimède arriva à 223/71 < Pi < 22/7 (3.1408... < Pi < 3.1428...), soit 2 décimales exactes !

Al-Kashi (grand mathématicien et astronome du XVeme siecle) calcula 14 décimales (toujours avec la même méthode), cette précision resta 200 ans.
Certains  (fous ?) ont passé leur vie sur ce nombre comme par exemple Ludolph van Ceulen, qui a demandé à faire graver les 34 décimales qu'il a trouvé sur sa tombe...

Les mathématiques évoluent, et avec elles des méthodes de calculs, les décimales continuent à être calculées et on augmente de plus en plus la précision.
Et puis arrive le XXeme siècle et ses ordinateurs...  Le record actuel, obtenu en 2002 est de 1 241 100 000 000 décimales !!

Pi est un irrationnel, cela signifie qu'il ne peut s'écrire sous forme de fraction. C'est également un nombre transcendant. Cela signifie qu'il n'est solution d'aucune équation constituée de rationnels. Bref pour résumer : on ne peut pas exprimer Pi simplement !
Ainsi on ne peut pas construire un carré (avec un compas, et une règle) dont la surface serait égale à celle d'un cercle donné (quadrature du cercle), on peut seulement s'en rapprocher de plus en plus prêt... car les points qui serviraient à la construction sont des rationnels...

En vrac et de façon non exhaustive quelques domaines où Pi est indispensable :
géométrie bien sur (donc architecture et tous les dérivées de constructions imaginables), mécanique, electromagnétisme, physique quantique, ...

Les scientifiques sont un peu fous (ce n'est pas nouveau !) : les 14 mars (3/14 en anglais), a 1h59 du matin (3.14159...) on fête Pi dans de nombreuses universités et département scientifiques :)

De tout temps on a voulu transmettre des messages secrets en esperant qu'ils ne soient pas interceptés ou tout du moins qu'ils ne soient pas compris par une personne que celle à qui il etait destiné !
Il y a eu beaucoup de techniques parfaites... jusqu'à ce qu'elles soient découvertes ! :)

Chez les Grecs :
l'emetteur et le destinataire du message possédait chacun un baton identique.
 Un morceau de parchemin était enroulé dessus et le message écrit en clair. Le parchemin était ensuite envoyé à son destinataire à plat et seule la personne possédant le baton identique pouvait le dechiffrer. L'important etait surtout que personne ne connaisse la façon dont il avait été codé (avec un baton), sinon il etait simple de trouver un baton de taille a peu pres semblable et de tout décoder ! (la baton est la clef du code)

Les Hébreux ont utilisé une technique bien connue des écoliers : ils inversaient les lettres : A devient Z, B devient Y, ...

Nabuchodonosor, roi de babylone, rasait un esclave, inscrivait le message sur son crane, attendait un peu que les cheveux repoussent et envoyait l'esclave porter son message !

Pour améliorer un peu la méthode des hébreux, on peut décaler chaque lettre de l'alphabet par un nombre n (c'est le code de César, qui a été utilisé également par les russes en 1915).
Le n a simplement besoin d'être connu par l'emetteur et le recepteur. Tres simpliste quand même puisqu'il n'y a que 26 codes possibles !

Autre méthode, le carré de Polybe :
On prend un carré de 25 cases (ou plus si on veut plus de lettres... mais avec 25 en mettant V et W dans la meme case on peut s'en sortir)
chaque lettre correspond à une abscisse et une ordonnée donc deux chiffres.

Ainsi a = 11, n=34, ...
On peut meme imaginer que chacun des intelocuteurs possède la même version du carré avec les lettres disposées au hasard (et non comme ici dans l'ordre), il n'y a plus de logique entre chaque lettre, ce qui rend le décodage plus difficile.
On peut casser la clef relativement facilement : on connait la fréquence d'apparition des lettres dans un texte (le e est tres courant, il suffit de trouver le nombre qui revient le plus souvent, deux lettres identiques qui se suivent peuvent être t, m l ou p, ...) et petit à petit on décode des mots et on finit par obtenir le message.

Le chiffrement de Vigenère : il suffit d'un mot de code, d'un papier et d'un crayon.
on fait un tableau de 26x26 cases, contenant toutes les lettres de l'alphabet à la verticales et à l'horizontale, décalées à chaque fois :

on va choisir comme code, l'intersection entre la lettre à codée et la 1ere lettre de notre mot de passe, puis la deuxième, et on repart de zero ensuite :

Exemple : mot de passe : mcblog
phrase à coder : vive les vacances !

on cherche l'intersection de :
m et v : h
c et i : k
b et v : w
l et e : p
o et l : z
g et e : k
m et s : e
c et v : x
b et a : b
l et c : n
o et a : o
g et n : t
m et c : o
c et e : g
b et s : t
et notre message est hkwp zke xbnotogt !
pour le decoder il suffit de faire l'inverse... (on prend la première lettre du mot de passe, on descend la colonne jusqu'à obtenir la lettre qu'on a recu, et on regarde a quelle ligne elle correspond) ingénieux n'est ce pas ?
Celui la fut beaucoup plus compliqué à casser ! Car une symbole à un moment ne signifie pas la meme chose à un autre...

Pendant la guerre, les allemands utilisèrent une sorte de machine à écrire : Enigma !
On tappait le texte en clair, il ressortait en code. Le destinataire tappait le texte en code il en sortait le texte en clair.
C'est aussi une méthode de substitution (une lettre à la place d'une autre, mais là ce n'etait pas toujours la même qui remplaçait une lettre.)
Les touches sont reliées à des circuits électriques et des rotors.
Je tappe sur A, un rotor dirige mon circuit vers G par exemple, puis il tourne.
je tappe C, le rotor va diriger vers F par exemple (comme il a tourné, il ne decalle pas du meme nombre que précédemment) et de nouveau il tourne en attendant la suite.
Et ainsi de suite.
Pour décoder, on utilise le meme rotor au même endroit au départ et le courant passe en sens inverse et le tour est joué.

Dans un prochain article on parlera de la cryptographie moderne, en attendant : rejawd wrv jgrpi awmvpiv ! (indice pour décoder : cerise...)

Tom me demandait dans les commentaires d'un article, quelle était la probabilité de gagner au loto.
Cet exemple va nous permettre de raisonner différemment que pour le monopoly. En effet au loto l'ordre d'apparition des numéros gagnant n'a aucune importance !
Cela vous parait insignifiant ? et bien pourtant pas du tout ! petite démonstration sur un echantillon plus petit :

Imaginons que j'ai 5 boules possibles A B C D E, et que je doive en choisir 2.

- si l'ordre a de l'importance.
Je choisis D et A.
J'ai une chance sur 5 pour que D sorte en premier.
puis une chance sur 4 pour que A arrive ensuite.
donc au final j'ai 1 chance sur 20 (1/5 * 1/4) pour gagner.

- si l'ordre n'a pas d'importance :
je choisis toujours D et A.
J'ai une chance sur 5 pour que D sorte en premier et 1 chance sur 5 aussi pour que ce soit A.
donc au final pour le premier tirage : 2/5 d'avoir la bonne boule
ensuite il me reste une chance sur 4 pour que le deuxième soit bon.
Finalement : 2/5 * 1/4 = 1/10 de gagner...
beaucoup plus interressant n'est ce pas ?

Pour le loto c'est exactement pareil : il faut choisir 6 boules parmi 49
on obtient donc :
- boule 1 : 6/49 d'en avoir une de bon
- boule 2 : 5/48
- boule 3 : 4/47
- boule 4 : 3/46
- boule 5 : 2/45
- boule 6 : 1/44
c'est-à-dire : 720/10068347520 ou plus simplement 1 chance sur 13.983.816 ...

Pour éviter ce genre de calcul (imaginez avec des grands nombres ce que ca pourrait donner...) on a posé quelques définitions :

le factoriel d'un nombre est la multiplication de tous les entiers jusqu'à ce nombre. Pour la notation on utilise un point d'exclamation.
exemple factoriel de 5 = 5! = 1*2*3*4*5 = 120

Certaines formules permettent de calculer directement le nombre de possibilités de trouver p éléments parmi n
- avec ordre : A_n^p=n!/(n-p)!  (on appelle cela un arrangement)
- ou sans ordre : C_n^p= n!/((n-p)!p!) (on appelle cela une combinaison)
Si vous voulez les démonstrations je peux vous les faire, mais bon,on va s'arrêter là ! Je crois avoir répondu à la question de Tom :)
Retenez cette histoire de factoriel, je m'en servirais pour vous faire un petit cours de programmation informatique :)

Au fait n'oubliez pas : à chaque tirage on repart de 0, on oublie complètement les tirages précédents. Ainsi chacune des boules a autant de chance qu'une autre d'être tirée au sort. Ce n'est pas parce qu'un numéro n'est pas tombé depuis tres longtemps qu'il a plus de chance qu'un autre de tomber !

Pour finir, un petit exercice pour voir si vous avez compris et si vous êtes motivés :

Dans un jeu de 32 cartes, j'en tire 4 au hasard.
Quelle est la probabilité que j'obtienne les 4 as ?
Quelle est la probabilité que j'obtienne dans l'ordre : le valet, la dame, le roi et l'as de coeur ?

bon calcul !

Aujourd'hui nous allons parler d'un nombre un peu particulier (oui forcément, sinon on n'en parlerait pas...), un nombre qui fascine les architectes, les peintres, les décorateurs, et évidemment les mathématiciens... ce nombre est le nombre d'or.


On le note φ (phi) (depuis le début du XXeme siecle), en hommage a Phideas qui décora le parthénon à Athènes.

Qu'est ce que φ ? c'est (1 + √5)/2, c'est une solution de l'équation x²-x-1=0.
Voila pour ce qui est de sa définition mathématiques.
En valeur approché, comme Pi, il est infini, et certains s'amusent à le calculer. Les premieres décimales sont les suivantes : 1,618...

Pourquoi nombre d'or ? qu'a-t-il de si spécial ?
Et bien C'est Adolf Zeising qui, au XIXeme siecle, le mit en évidence, non plus en géométrie, mais partout !

Il existe dans les proportions du temple d'Andros, construit il y a plus de 10 000 ans, on le retrouve dans les dimensions de la pyramide de Khéops, ou l'architecte l'a utilisé énormement, Phidias, donc, dans les alentours de 500 av JC l'a utilisé pour décorer le Parrthénon, Euclide y fait allusion dans un livre, en 1498 Pacioli écrit un livre à son sujet (la divine proportion), ... bon j'en passe, on arrive au XXeme siècle ou des peintres comme Picasso ou Dali, des architectes comme Le Corbusier l'utilisent pour définir les proportions de leurs oeuvres.

Par exemple dans les suites de Fibonacci
Une suite est une sorte de liste de nombres, qu'on obtient gâce à une formule.
Pour Fibonacci, on définit le n^ieme terme de la suite comme valant la somme du terme n-1 et du terme n-2

exemple, on pose : F₁=1 et F₂=1
alors F₃ = F₁ + F₂ = 2
F₄ = F₃ + F₂ = 3
F₅ = 5
F₆ = 8
...

Et bien on se rend compte, que si on fait le quotiens de chaque terme par son précédent F₂/F₁, F₃/F₂, ... F_n/F_(n-1), on se retrouve avec des resultats de plus en plus proches les uns des autres, qui tendent vers le nombre d'or !

Tout ca c'est bien beau, mais il semble que ce ne soit que le fruit du hasard, une sorte d'effet de mode, les gens se sont mis à chercher ce nombre partout, alors évidemment, quand on cherche on finit par trouver : ah si je relis telle partie du tableau avec telle partie, et que je fais le rapport avec ce petit truc là qui est surement tres important, j'obtiens le nombre d'or... un peu simpliste ! On peut également trouver des rapports de 2 ou de 400 ou tout ce qu'on veut !

Ainsi on recherche ce nombre dans les tableaux des grands peintres, dans les plans des monuments, on construit des figures géométriques dites d'or (avec les proportions d'environ 1,6...).

C'est pas formidable de se focaliser comme ca sur un nombre ? C'est ainsi que naissent les légendes :)